平移与旋转：Geometry 里带数值的两种刚性变换

平移和旋转属于刚性变换——图形形状大小都不变，只有位置与朝向变。两件工具的操作都比轴对称多一步数值输入，本页把它们讲透。

Translate by Vector（按向量平移）

操作流程：

1. 选工具，点要平移的对象（比如一个多边形）
2. 点向量的起点，再点终点——或者直接选一条已有的线段当向量

对象沿着向量方向移动了向量长度的距离。两种给向量的方式对应两种教学场景：

• 临时两点：随便点两个位置，快速演示"往哪移、移多远"
• 现成线段：预先画一条带标注长度的线段（画线方法见「直线、线段与射线怎么选」），让"向量 = 有方向的线段"可视化

拖动向量的起点或终点，平移结果实时移动——向量决定位移，拖谁谁变。

Rotate around Point（绕点旋转）

操作流程：

1. 选工具，点要旋转的对象
2. 点旋转中心（可以是图形外的点、图形的顶点，甚至图形内部）
3. 弹出角度输入框，填度数（正数逆时针，负数顺时针），确认

三步之后，对象绕中心转过了指定角度。旋转中心的选取是教学重点：同一个图形绕不同中心转同样的角度，落点完全不同——把三个候选中心点摆出来各转一次，旋转三要素（中心、方向、角度）里"中心"的地位一目了然。

配合实验：旋转对称图形

用 Regular Polygon 画正六边形（见「多边形工具」），以它的中心为旋转中心转 60°——新位置与原位置完全重合。依次试 30°、45°、60°：哪些角度能重合、哪些不能，旋转对称角的定义不用讲自己就懂。

图形平移的性质验证

课本上平移的性质是"对应点连线平行且相等"。动态验证流程：

1. 画一个三角形，按向量平移得到像
2. 连接一对对应点（原顶点 A 与像顶点 A′），再连另一对 B 与 B′
3. 量两条连线的长度与方向（测量方法见「测长度」与「量角器进手机」）
4. 拖动原图形——两条连线始终平行且等长

数值哪里来的准确性说明

旋转角度输入框支持任意度数（含小数与负数）。180° 旋转与点对称（Reflect about Point）效果一致——两件工具的关系可以让学生自己对比发现。

下一个变换：「轴对称与缩放」。